Seite 1 · Beispiel
Lösungsblatt — DGL → Übertragungsfunktion → Pol-Nullstellen → Sprungantwort
Der Weg ist immer gleich. Rechts die drei Schritte, unten ein komplett gelöstes Beispiel.
A · Übertragungsfunktion
DGL Laplace-transformieren — bei Null-Anfangswerten wird jede Ableitung ein Faktor s (ẏ→sY, ÿ→s2Y). Dann nach G(s)=Y/U auflösen.
B · Pol-Nullstellen
Pole = Nullstellen des Nenners (×). Nullstellen = Nullstellen des Zählers (○). Pol links der Im-Achse ⇒ stabil.
C · Sprungantwort
Ein reeller Pol = PT1: h(t)=K(1−e−t/T). Endwert = K; nach t=T sind 63 %; kein Überschwingen.
Beispiel-Lösung
Gegeben: 2ẏ1 + 4y1 = 5u1 mit y1(0) = 0
A
Laplace (mit y
1(0)=0): 2
sY1 + 4
Y1 = 5
U1 ⇒
Y1(2
s+4)=5
U1
G(s) = 52s+4 = 2,5s+2 = 1,250,5 s+1
PT1-Form
KTs+1 ⇒
K = 1,25 und
T = 0,5 s.
B
Nenner: 2s+4=0 ⇒ s = −2 → ein Pol (×).
Zähler: = 5 = konstant ⇒ keine Nullstelle.
Pol liegt links ⇒ stabil. Kontrolle: s=−1/T=−2 ⇒ T=0,5 s. ✓
C
PT1-Sprungantwort:
h(t) = 1,25 (1 − e−2t)
Start bei 0, glatter Anstieg,
Endwert 1,25. Bei
t=
T=0,5 s:
63 % ≈ 0,79. Kein Überschwingen; fertig nach ≈2,5 s.
Seite 2 · Arbeitsblatt
Lösungsblatt — DGL → Übertragungsfunktion → Pol-Nullstellen → Sprungantwort
Lade unten ein Foto deiner Aufgabe — die Lösung erscheint sofort im gelben Kasten, ohne Neuladen.
A · Übertragungsfunktion
DGL Laplace-transformieren — bei Null-Anfangswerten wird jede Ableitung ein Faktor s (ẏ→sY, ÿ→s2Y). Dann nach G(s)=Y/U auflösen.
B · Pol-Nullstellen
Pole = Nullstellen des Nenners (×). Nullstellen = Nullstellen des Zählers (○). Pol links der Im-Achse ⇒ stabil.
C · Sprungantwort
Ein reeller Pol = PT1: h(t)=K(1−e−t/T). Endwert = K; nach t=T sind 63 %; kein Überschwingen.
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